इयत्ता 10 वी गणित भाग 2 | धडा 2 पायथागोरसचे प्रमेय | सरावसंच 2.1 प्रश्न व सविस्तर उत्तरे

 

इयत्ता 10 वी गणित भाग 2

धडा 2 : पायथागोरसचे प्रमेय

सरावसंच 2.1 — प्रश्न व सविस्तर उत्तरे

प्रश्न 1. खालील त्रिकूटांपैकी पायथागोरसची त्रिकुटे कोणती आहेत ते सकारण लिहा.

(1) (3, 5, 4)    (2) (4, 9, 12)    (3) (5, 12, 13)
(4) (24, 70, 74)    (5) (10, 24, 27)    (6) (11, 60, 61)

उपाय :

पायथागोरसच्या प्रमेयानुसार समकोण त्रिकोणात,

(कर्ण)² = (एक भुजा)² + (दुसरी भुजा)²

(1) (3, 5, 4)

3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5²

म्हणून (3, 5, 4) हे पायथागोरसचे त्रिकूट आहे.

(2) (4, 9, 12)

4² + 9² = 16 + 81 = 97

परंतु 12² = 144.

म्हणून (4, 9, 12) हे पायथागोरसचे त्रिकूट नाही.

(3) (5, 12, 13)

5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13²

म्हणून (5, 12, 13) हे पायथागोरसचे त्रिकूट आहे.

(4) (24, 70, 74)

24² + 70² = 576 + 4900 = 5476 = 74²

म्हणून (24, 70, 74) हे पायथागोरसचे त्रिकूट आहे.

(5) (10, 24, 27)

10² + 24² = 100 + 576 = 676

परंतु 27² = 729.

म्हणून (10, 24, 27) हे पायथागोरसचे त्रिकूट नाही.

(6) (11, 60, 61)

11² + 60² = 121 + 3600 = 3721 = 61²

म्हणून (11, 60, 61) हे पायथागोरसचे त्रिकूट आहे.

उत्तर : (3, 5, 4), (5, 12, 13), (24, 70, 74) आणि (11, 60, 61)

प्रश्न 2. आकृती 2.17 मध्ये ∠MNP = 90°, रेषा NQ ⟂ रेषा MP, MQ = 9, QP = 4 तर NQ काढा.

दिलेलं :

MQ = 9,   QP = 4

NQ ⟂ MP

कर्णावरील लंबाच्या प्रमेयानुसार,

NQ² = MQ × QP

NQ² = 9 × 4

NQ² = 36

NQ = √36

NQ = 6

उत्तर : NQ = 6 एकक

प्रश्न 3. आकृती 2.18 मध्ये ∠QPR = 90°, रेषा PM ⟂ रेषा QR आणि Q-M-R, PM = 10, QM = 8 यावरून QR काढा.

दिलेलं :

PM = 10,   QM = 8

PM ⟂ QR

कर्णावरील लंबाच्या प्रमेयानुसार,

PM² = QM × MR

10² = 8 × MR

100 = 8 × MR

MR = 100/8

MR = 12.5

आता,

QR = QM + MR

QR = 8 + 12.5

QR = 20.5

उत्तर : QR = 20.5 एकक

प्रश्न 4. आकृती 2.19 मधील △PSR मध्ये दिलेल्या माहितीवरून RP आणि PS काढा.

आकृती 2.19

दिलेलं :

SR = 6,   ∠SPR = 30°,   ∠PSR = 90°

प्रथम RP काढू.

sin 30° = SR/RP

1/2 = 6/RP

RP = 12

आता PS काढू.

cos 30° = PS/RP

√3/2 = PS/12

PS = 12 × √3/2

PS = 6√3

उत्तर : RP = 12 आणि PS = 6√3 एकक

प्रश्न 5. आकृती 2.20 मध्ये दिलेल्या माहितीवरून AB आणि BC काढण्यासाठी खालील कृती पूर्ण करा.

उपाय :

आकृतीनुसार,

AB = BC

तसेच,

∠ABC = 90°

म्हणून △ABC हा समद्विभूज  त्रिकोण आहे.

त्यामुळे,

∠BAC = ∠ACB

∠BAC + ∠ACB + 90° = 180°

2∠BAC = 90°

∠BAC = 45°

समद्विबाहू समकोण त्रिकोणात,

AB = BC = (1/√2) × AC

दिलेलं AC = √8

AB = BC = (1/√2) × √8

√8 = 2√2

AB = BC = (1/√2) × 2√2

AB = BC = 2

उत्तर : AB = BC = 2

प्रश्न 6. एका चौरसाचा कर्ण 10 सेमी आहे तर त्याच्या बाजूची लांबी व परिमिती काढा.

उत्तर :

समजा चौरसाची बाजू = x सेमी.

चौरसाचा कर्ण = 10 सेमी.

पायथागोरसच्या प्रमेयानुसार,

10² = x² + x²

100 = 2x²

x² = 50

x = √50

x = √(25 × 2)

x = 5√2

म्हणून चौरसाची बाजू = 5√2 सेमी.

परिमिती = 4 × बाजू

= 4 × 5√2

= 20√2 सेमी.

उत्तर : बाजू = 5√2 सेमी आणि परिमिती = 20√2 सेमी.

प्रश्न 7. आकृती 2.21 मध्ये ∠DFE = 90°, रेषा FG ⟂ रेषा ED, GD = 8, FG = 12 तर (1) EG (2) FD आणि (3) EF काढा.

दिलेलं :

GD = 8,   FG = 12

FG ⟂ ED

(1) EG काढू.

कर्णावरील लंबाच्या प्रमेयानुसार,

FG² = EG × GD

12² = EG × 8

144 = 8EG

EG = 144/8

EG = 18

ED = EG + GD

ED = 18 + 8 = 26

(2) FD काढू.

FD² = GD × ED

= 8 × 26

= 208

FD = √208

FD = √(16 × 13)

FD = 4√13

(3) EF काढू.

EF² = EG × ED

= 18 × 26

= 468

EF = √468

EF = √(36 × 13)

EF = 6√13

उत्तर : EG = 18, FD = 4√13 आणि EF = 6√13

प्रश्न 8. एका आयताची लांबी 35 सेमी व रुंदी 12 सेमी आहे तर त्या आयताच्या कर्णाची लांबी काढा.

उत्तर :

लांबी = 35 सेमी

रुंदी = 12 सेमी

समजा कर्णाची लांबी = d सेमी.

पायथागोरसच्या प्रमेयानुसार,

d² = 35² + 12²

= 1225 + 144

= 1369

d = √1369

d = 37

उत्तर : आयताच्या कर्णाची लांबी = 37 सेमी.

प्रश्न 9. आकृती 2.22 मध्ये M हा बाजू QR चा मध्यबिंदू आहे. ∠PRQ = 90° असेल तर सिद्ध करा,

PQ² = 4PM² − 3PR²

आकृती 2.22

उत्तर :

दिलेलं :

∠PRQ = 90°

M हा QR चा मध्यबिंदू आहे.

म्हणून,

RM = MQ

समजा,

PR = a आणि RM = MQ = b

म्हणून,

RQ = RM + MQ

RQ = b + b = 2b

△PRQ मध्ये पायथागोरसच्या प्रमेयानुसार,

PQ² = PR² + RQ²

= a² + (2b)²

PQ² = a² + 4b² ...(1)

आता △PRM मध्ये,

PM² = PR² + RM²

PM² = a² + b²

दोन्ही बाजूंना 4 ने गुणिले.

4PM² = 4a² + 4b²

दोन्ही बाजूंमधून 3PR² वजा केल्यास,

4PM² − 3PR²

= 4a² + 4b² − 3a²

= a² + 4b²

समीकरण (1) नुसार,

a² + 4b² = PQ²

PQ² = 4PM² − 3PR²
सिद्ध झाले.

प्रश्न 10. रस्त्याच्या दुतर्फा असलेल्या इमारतींच्या भिंती एकमेकींना समांतर आहेत. 5.8 मी लांबीची शिडी एका टोकास रस्त्यावर ठेवली असता तिचे वरचे टोक पहिल्या इमारतीच्या 4 मीटर उंच असलेल्या खिडकीपर्यंत पोहोचते. त्याच ठिकाणी शिडी घेऊन रस्त्याच्या दुसऱ्या बाजूस वळविल्यावर तिचे वरचे टोक दुसऱ्या इमारतीच्या 4.2 मीटर उंच असलेल्या खिडकीपर्यंत येते. तर रस्त्याची रुंदी काढा.

उत्तर :

शिडीची लांबी = 5.8 मी.

पहिली स्थिती :

पहिल्या इमारतीवरील खिडकीची उंची = 4 मी.

समजा पहिल्या इमारतीपासून शिडीच्या पायापर्यंतचे अंतर = x मी.

पायथागोरसच्या प्रमेयानुसार,

5.8² = x² + 4²

33.64 = x² + 16

x² = 17.64

x = 4.2 मी.

दुसरी स्थिती :

दुसऱ्या इमारतीवरील खिडकीची उंची = 4.2 मी.

समजा दुसऱ्या इमारतीपासून शिडीच्या पायापर्यंतचे अंतर = y मी.

5.8² = y² + 4.2²

33.64 = y² + 17.64

y² = 16

y = 4 मी.

रस्त्याची रुंदी :

रस्त्याची रुंदी = x + y

= 4.2 + 4

= 8.2 मी.

उत्तर : रस्त्याची रुंदी = 8.2 मीटर.

सरावसंच 2.1 — अंतिम उत्तरे

1. (3,5,4), (5,12,13), (24,70,74), (11,60,61)

2. NQ = 6 एकक

3. QR = 20.5 एकक

4. RP = 12, PS = 6√3 एकक

5. AB = BC = 2

6. बाजू = 5√2 सेमी, परिमिती = 20√2 सेमी

7. EG = 18, FD = 4√13, EF = 6√13

8. कर्ण = 37 सेमी

9. PQ² = 4PM² − 3PR²

10. रस्त्याची रुंदी = 8.2 मीटर